Хоккеист защищает цвета динамовской хоккейной команды с 2003 года. Вместе с «Динамо-Минск» он выигрывал золото, серебро и бронзу чемпионата Беларуси, неоднократно завоевывал Кубок страны.
Вместе с динамовцами в 2008 году Александр Кулаков дебютировал и в КХЛ. За два сезона нападающий провел 77 матчей, в которых набрал 26 (11+15) баллов. В составе сборной страны Александр Кулаков принимал участие в 4 чемпионатах мира, в том числе и в последнем первенстве планеты 2010 года в Германии. Главным же событием для хоккеиста, как и для многих его партнеров по национальной команде, стало выступление на Олимпийских играх. В Ванкувере Александр Кулаков провел все 4 игры, в которых сделал одну результативную передачу.
