Теллквист начал свою карьеру в шведском клубе "Дьюгарден", где провел три сезона. После этого Теллквист перешел в "Торонто", где лишь в своем последнем сезоне сумел стать основным голкипером, после чего был обменен в "Финикс". Еще через два сезона Теллквист стал вратарем "Буффало". Всего на счету Теллквиста 113 матчей в НХЛ, в которых он в среднем пропускал по 3,01 шайбе.
После карьеры в НХЛ Теллквист выступал за казанский "АК Барс" в котором провел 11 встреч (в среднем 2,44 пропущенные шайбы за игру) и финский "Лукко" (26 матчей, 2,34 пропущенные шайбы). Теллквист в составе сборной Швеции участвовал на двух Олимпиадах, трех Чемпионатах мира и на одном кубке мира.
